在武汉那座老城中穿梭的日子，我的公众号因忙于整理游记而暂时停更。现在我回来了，想给大家讲讲数学。最近大家聊到费马的时候，有位读者抛出了个有意思的话题。他说，“如果有两个数的n次方加起来等于1，那它们肯定都是无理数”。顺着这个想法，他又把范围扩大了，“只要k是大于1的有理数，k的n次方减去1的n次方再开根号，肯定也是无理数”。这两句话就像两把钥匙，一下子把无理数的大门给打开了。 咱们先看第一把钥匙。一开始我也觉得，如果两个数加起来等于1，那它们一定都是无理数。可是反例一下就出来了。我取了一个a等于三分之二的立方根，再取一个b等于三分之一。你看，一个是无理数，一个是有理数，加起来也等于1啊。这说明光靠“和为1”这个条件，还没法证明两个数都是无理数。 不过换个角度想，如果a和b都能化成最简分数p/q和r/s呢？把它们代进公式aⁿ＋bⁿ＝1里去。经过一通变形后，你会发现这跟费马大定理撞车了。费马大定理说了，“整数解不存在”。可是这里要是假设成立了，就等于有了解啊。这就自相矛盾了，所以a和b肯定不能同时是有理数。 再来说第二把钥匙。随便拿个k，只要它是大于1的有理数，我们来看看kⁿ－1开n次方根的结果。要是这个结果也是有理数，那我就能把它写成m/n的形式。接着推算下去就会发现问题：左边明明是有理数的运算结果，右边却有可能带着根号之类的无理数成分。这两边就对不上了。所以说kⁿ－1开n次方根绝对是个无理数。 从几何的角度看也一样。把kⁿ－1看成抛物线y²＝4ax的顶点纵坐标a。这里的a就是(k−1)/(4k²)。当k是有理数的时候，分母4k²怎么也不会把分子里的根号约掉；就算k变得特别大甚至趋向无穷大，分母4k²也会让纵坐标变得无限高。不管怎么算，“有理输入”永远得不到“有理输出”。 这次写出来的这些内容只是我旅途的一部分经历而已。等我把武汉那些古巷和江景的游记整理完之后，还会继续写更多的东西。我希望这两把钥匙能帮大家在探索无理数的过程中照亮道路。