数学史上，几何作图题里最让人头疼的，要数能不能仅凭直尺和圆规画出那些边数为素数的正多边形。哪怕古代的人早已会画正三角形、正方形还有正五边形，一旦尝试画正七边形、正十一边形或者正十三边形，他们往往就会以失败告终。这种局面足足持续了两千多年，搞得大家都觉得，凡是边数是素数的正多边形，根本没法用尺规搞定。那些古老的书里满是尝试的记录，看起来特别能说明数学探索到底有多难多漫长。 到了1796年，情况发生了大逆转。德国哥廷根大学有个叫盖尔美斯的人，他按照高斯给出的思路，把正六万五千五百三十七边形的尺规作图方案给搞出来了。这方案装满了一只大手提箱，现在还好好地保存在德国那所著名的大学档案馆里。那个时候，高斯刚满19岁就找到了正十七边形的作法。这个发现让整个数学界都炸了锅，高斯的人生也因此彻底改变。 五年后，高斯又登上了历史舞台。他给人们出了个判断任意正多边形能不能用尺规画出来的标准，这就给数学研究开了一扇新大门。高斯的理论说：凡是边数是费尔马素数的正多边形都能画出来。所谓费尔马素数，就是可以写成2的2次方加上1这种形式的素数。像当n等于2的时候就是正十七边形；n等于3的时候就是正二百五十七边形；n等于4的时候就变成了正六万五千五百三十七边形……他还进一步证明了如果边数是素数但不是费尔马素数，比如正七边形、正十一边形之类的，那就没法用传统的圆规和直尺来画了。 正因为有了这个定理，数学美的理解就有了全新的角度。在十七之后的两个费尔马素数里，分别是257和65537。数学家黎西罗接着就给出了正二百五十七边形的完整作法，那一张纸足足写了80页之多。 这道几何作图题的证明堪称几何史上最繁琐、最让人敬畏的成就之一。每一笔每一划都凝聚了数学家们无尽的耐心和智慧。